從認知發展看排列物件長短高矮及比較數字大小

    
    初小的數學課要求小學生比較物件的大細、長短、高矮，與及排列數字的大小等。即
如在一年級排列次序一課，有以下的問題：


哪樣最高? 把最高的填上紅色。
哪樣最矮? 把最矮的填上黃色。
把它們由高至矮排列出來:


       
(摘自《現代數學》(一上) 香港：現代教育研究社, 1988, 頁12)

又如在二年級認識三位數時，經常都會出現這種問題：由小至大排列這些數字 182, 214,
126, 310。

    這些看來容易的習題，其實也有老師值得注意的地方。這些問題的有效解決均要求兒
童有序列 (seriation) 的能力， 是屬於皮亞傑 (Jean Piaget) 的具體運算時期
(concrete operational stage) 所出現的一種認知識略。要明白這種能力的表現，
可以看看以下這個實驗的描述。皮亞傑讓小孩子將一些不同長度的筆桿由最短順次序排列
到最長。較年長的學前兒童一般都可以做到，只是他們做起上來有點任意和雜亂，缺乏系
統。他們會將筆桿放在檯上排成一列，其中當然有不少錯誤，然後花好些時間慢慢更正過
來。而六至七歲已進入具體運算時期的小孩子，都可以系統地進行排列工作，尤如按著一
個計劃般去做：他們先抽出最短的放在一旁，然後再取出餘下來最短的，如類推，直至最
後完成這個排列的任務為止。

   由此可知，單單看結果分別可能不大，但其中的排列過程、方法，正正可以反映兒童
在認知發展上的水平。因此面對那些在認知發展上略遲幼初小學生，他們在排列較多物件
或數字時會遇到一些困難，需要教師的引導或協助。上圖三個物件的高矮比較問題不大，
依照指引填顏色不難得到正確結果。但若多加一兩件東西，這個先取最高、最矮的方法原
則上有困難，需要教師指引逐一選取抽出最矮的物件。

   對於一列數字的大小排列，有相似的情況存在。要將 182, 214, 126, 310 由小
至大排列，必須懂得先從這四個數字中找出最小的，即126， 記下並從數字堆中刪除，再
取下一個最小的 ...... 如類推。
          182, 214, 126, 310                    126,
          182, 214, 126, 310                    126, 182,
	  182, 214, 126, 310	             126, 182, 214, 
                                      答案： 126, 182, 214, 310

    作為介紹這個系統方法，教師不妨先從較為簡單的數字組開始，例如：500, 200, 
300, 100，然後是250, 100, 350, 200等等。

    在這個認知階段的小孩子同時也在發展內心的序列能力，通過心理表象 (mental
representation) 作非實物的比較。這種能力的表現可以由以下實驗測試得到。實驗
者先給兒童甲乙兩枝長度不同的鉛筆，要求兒童判定那一枝較長。結果是甲較乙長，之後
實驗者拿走甲鉛筆，出示另一枝比乙短的丙鉛筆，若兒童比較乙丙兩枝鉛筆。當兒童說出
乙比丙長之後，實驗者再問兒童甲丙兩鉛筆，何者較長 (但沒有出示甲鉛筆)。在這種條
件下，兒童必須憑推論 (transitive inference) 作出判斷。皮亞傑的研究指出要
到7至8歲的兒童才能好好地作這個邏輯推論。

   由於以上談到的數學習題，均出現在一、二年級，這個階段正值大部分兒童開始進入
具體運算時期，序列能力正在發展，也存在一定的個別差異，因此小學數學老師必須注意
個別學生在進行這類數學習題時的過程，在有需要時須加以指導，協助其掌握系統的比較
大小方法。