Fermat（分割）定理的「代數法」証明

Fermat（分割）定理：  矩形 ABCD 的邊 AD =  ，以 AB 為
直徑在矩形之外作半圓，在半圓上任取一點 P，連 PC、PD 交 
AB 於 E、F ，則：
AE的平方+BF的平方 = AB的平方 

    R.A. Johnson 先生在文 [1] 中給出了一個漂亮的 "福地法" 証明，本文給出一
個代數証法。


証明：	如圖,不失一般性，設  AD = 1  ，則  AB =2的平方根，
	並令  AF = x  ，  BE = y  。
	過 P 作  PG ( AB  交 AB 於 G 。因為三角形PGE~三角形CBE

	於是 PG/BC = GE/BE  即  PG/1 =GE/y 
	∴	GE = PG•y ......(1)
	同理	GF = PG•x ......(2)
	(1)+(2)  得   EF = ( x + y )PG
	即   PG =EF/(x+y) = (開方根 2)-x-y ....... (3)
	由 (1)、(2)、(3) 得
		GE = PG•y = y
		GF = PG•x = x
	∴	BG = GE+y = (開方根 2)y/(x+y)......(4)
		同理	AG =(開方根 2)x/(x+y)......(5)


    又  PG的平方= AG•BG  ，綜合 (3)、(4)、(5) 得
    {(開方根 2 -x -y)/(x+y)}的平方 = {(開方根 2)x}/(x+y)•{(開方根 2)y)/(x+y)}	
	化簡得   2 - 2開方根 2( x + y )+ x的平方+ y的平方 = 0 ......(6)
	∴	AE 2 ( BF 2 = (  ( y ) 2 ( (  ( x ) 2 = 2 ( 2( x ( y ) ( x 2 ( y 2 ( 2
	由 (6) 式知  AE 2 ( BF 2 = 2 = AB 2  ，本題獲証。


	此外，還有一種自然的思路，即在圖中半圓上取一點 P' 使  P'A = AE ，那麼祇
要能証明  BF = P'B  即可。但筆者的嘗試沒有成功。


參考文獻
[1]  R.A.Johnson《近世幾何學》（邱丕榮譯） 商務印書館 1955年6月第6版。