一道競賽題的推廣

已知：0 < x < y < z < ((，
試證：sin 2x + sin 2y + sin 2z < (( + 2 sin x cosy + 2 sin y cos z 。

　　這是一道1989年Iberoamerican競賽試題和1990年中國國家IMO集訓隊測試試題。許多刊物上都曾刊載過此題的證明，本文擬給出此不等式的推廣。

推廣１：若0 < x1 < x2 < ... < xn < ((，則sin 2x1 + sin 2x2 + ... + sin 2xn
< (( + 2 sin x1 cos x2 + 2 sin x2 cos x3 + ... + 2 sin xn(1 cos xn 。
證明：首先將要証明之不等式改寫如下：(sin 2x1 + sin 2x2 + ... + sin 2xn
< (( + 2 sin x1 cos x2 + 2 sin x2 cos x3 + ... + 2 sin xn(1 cos xn 
( sin x1 cos x1 + sin x2 cos x2 + ... + sin xn cosxn
< (( + sin x1 cos x2 + sin x2 cos x3 + ... + sin xn(1 cos xn 
( sin x1(cos x1 ( cos x2) + sin x2(cos x2 ( cos x3) + ...
+ sin xn(1(cos xn(1 ( cos xn) + sin xn cos xn < (( 。
　　
	如圖，取單位圓x2 + y 2 = 1上的點A1(cos x1 , sin x1) , A2(cos x2 , sin x2) , ... , An(cos xn , sin xn)，以Si (i = 1 , 2 , ... , n) 表示圖中長方形的面積，則
S1 = sin x1(cos x1 ( cos x2) , S2 = sin x2(cos x2 ( cos x3) , ... ,
Sn(1 = sin xn(1(cos xn(1 ( cos xn) , Sn = sin xn cos xn。













那麼 sin x1(cos x1 ( cos x2) + sin x2(cos x2 ( cos x3) + ...
+ sin xn(1(cos xn(1 ( cos xn) + sin xn cos xn = S1 + S2 + ... + Sn 。
(單位圓在第一象限的扇形面積為 ((，由圖易知S1 + S2 + ... + Sn < ((，
( sin x1(cos x1 ( cos x2) + sin x2(cos x2 ( cos x3) + ...
+ sin xn(1(cos xn(1 ( cos xn) + sin xn cos xn < ((
( 由前面的結果可知sin 2x1 + sin 2x2 + ... + sin 2xn
< (( + 2 sin x1 cos x2 + 2 sin x2 cos x3 + ... + 2 sin xn(1 cos xn 

推廣２：若0 < xn < xn(1 < ... < x1 < ((，則sin 4x1 + sin 4x2 + ... + sin 4xn 
< (( + 2 cos 2x1 sin 2x2 + 2 cos 2x2 sin 2x3 + ... + 2 cos 2xn(1 sin 2xn 。
　　事實上，由0 < xn < xn(1 < ... < x1 < ((
( 0 < (( ( 2x1 < (( ( 2x2 < ... < (( ( 2 xn < (( ，用 (( ( 2xi 換推廣１中的xi (i = 1 , 2 , ... , n) 即可。

推廣３：若0 < xn < xn(1 < ... < x1 < ，則sin 2nx1 + sin 2nx2 + ... + sin 2nxn
< (( + 2 cos 2n(1x1 sin 2n(1x2 + 2 cos 2n(1x2 sin 2n(1x3 + ... + 2 cos 2n(1xn(1 sin 2n(1xn 
	( n ( 2 , n ( N )。
　　推廣３的證明與推廣２的證明類同，故留給續者完成。