古法求開方

施榿樑

	
	當討論應否採用母語教學的時候，曾經聽過一位學生發表以下的
反對意見：「數學是從西方傳入的知識，用英語來學習，自然比中文
好啦！」
	聽了這意見，不禁吃了一驚，但細心想想，亦很難怪這同學有上
述的錯誤想法。一直以來，每當我們提到中國古代的科技成就時，我
們祇會講「四大發明」，但當中卻沒有一項是和數學研究有關的！何
況在現時的教科書中，亦很少提到這方面的資料。
	為了糾正同學們的錯覺，亦為了增加他們對學習數學的興趣，於
是我就收集了一些與中國古代數學研究有關的資料，在適當的時候引
進課堂之中。其中一項覺得最值得向大家介紹的，就是《九章算術》
中求開方的方法。
	《九章算術》是我國流傳至今較古老的一部數學文獻，由於它內
容豐富，而且論述大體正確無誤(*)，因此一直被中外人士給予極高的
評價。書中的第四卷，即是《少廣章》中，就談及到面積、體積的計
算問題，因為其中有一些例題，是從正方形面積去求一邊長長度的題
目，所以書中就引出求開方的方法。現在就將書內求開方的原文抄錄
如下：
開方　術曰：置積為實。借一算步之，超一等。議所
得，以一乘所借一算為法，而以除。除已，倍法為定
法。其復除，折法而下。復置借算步之如初，以復議
一乘之。所得副，以加定法，以除。以所得副從定
法。復除折下如前。
	整個計算可以分為十個步驟，現借助一例向大家解釋：



第一步：置積為實。借一算步之，超一等。
商
實  427716
法
借   | | |
整個計算需要四行來書寫，並分別稱為
「商」、「實」、「法」和「借」。將需要
求開方的數值放於「實」上，然後在「借」
行上，由個位數起，每隔一個位放一個記
號，以方便之後的計算。
第二步：議所得，以一乘所借一算為法，
商     6
實  427716
法   6
借   | | |
留意「借」行最左邊所標示的數的數值，
（即42，）講出一個剛好比它小的平方數，
（即36，）並將該平方數的開方記於「商」
和「法」的適當位置上。
第三步：而以除。
商     6
實   67716
法   6
借   | | |
將剛才求得的平方數去減「實」行中左方的
數值。即
42 * 36 = 6。
（文中的「除」字，不應解作「相除」或
「除法」，解作「相減」似較恰當。）
第四步：除已，倍法為定法。
商     6
實   67716
法  12
借   | | |
之後，將「法」行中的數值倍大兩倍。
第五步：其復除，折法而下。
商     6
實   67716
法   12
借   | | |
接著將「法」行中的數值向右移一個位。






第六步：復置借算步之如初，以復議一乘之。
商     65
實   67716
法   12
借   | | |
以除法比較「實」和「法」的兩個數值，定
出一個新數字放於「商」。如本例中，因為
67 *12 = 5餘7，所以將5字寫到「商」行。
第七步：所得副，以加定法，
商     65
實   67716
法   125
借   | | |
將上述的數字稱為「副」，並且將它寫入
「法」行中，放在「借」行的標記的上方。
第八步：以除。
商     65
實    5216
法   125
借   | | |
將「副」乘以「法」行中的數值，並且將結
果去減「實」行中左邊的數值。即677 * 125 
*5 = 52。
第九步：以所得副從定法。
商     65
實    5216
法   130
借   | | |
將「副」加「法」。即125 + 5 = 130。
第十步：復除折下如前。
商     654
實    5216
法    1304
借   | | |
重覆第五至第九步，直到求出最後結果。
即將「法」向右移，求「副」，（521 *130 
= 4餘1，「副」設為4。）並將「副」同時寫
入「商」和「法」行之內。

因為1304 * 4 = 5216，所以本題已完成。
427716的開方等於654。
	
這方法主要利用了一個非常簡單的恒等式來運算。留意：
(10a + b)2 = 100a2 + 20ab + b2 = 100a2 + (20a + b)b 
如果我們需要求427716的開方，就先定出100a2中的a值；換句話講，
就是求一個最接近4277的平方數和它的開方。因為652 = 4225，所以
定a = 65。代入上面的恒等式得


		427716 = 100*4225 + (20 *65 + b)b  *  (1300 + b)b = 5216。
之後祇要找到一個合適的b值，（即是原文中的「副」，詳情可參考第
十步，）就大功告成了。
	當然，大家會奇怪我們如何得知a應選擇65呢？其實好簡單，我們
可以依照上述方法，將4277「開方」，（找出一個剛小於42的平方
數，即是36，然後再定出一個合適的b值，使得100 *36 + (20 *6 + b)b
剛小於4277。第二至第八步。）便可以知道 a 應選65了。
	大家明瞭這方法的精髓之後，就不難理解原文中「借一算步之，
超一等」、「倍法為定法」、「折法而下」、「所得副，以加定法」
等步驟的目的可在；特別一提是第九步：「以所得副從定法」，因為
它是用來定出20a的數值的，所以個人覺得如果將它改為「倍商為定
法」，似乎更易於令人理解這步驟的目的。
	最後，要提醒大家的是，第六步和第十步中，利用除法定出來的
「副」，可能會過大，到時就要將它減 1，（甚至乎要減 2！#）才可
以順利完成運算。

參考書目
白尚恕(譯)(1990)。《九章算術今譯》濟南：山東教育出版社。　　
錢寶琮(1964)。《中國數學史》。北京：科學出版社。　
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*編者按：《九章算術》中亦有錯誤的。例如少廣章第二十四問後的開
方圓術便把球體體積誤為  (直徑)3。這問題到祖沖之父子
才能解決。其方法詳見蕭文強「數學教學上如何『古為今
用』」(《抖擻》44期，1981年)一文。

#編者按：也可以減 3，例如  ，不過減 4 就沒有可能了。

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數學教育第四期 Edumath 4 ( 6/97) 86 89
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