452 = 2025, 20 + 25 = 45 552 = 3025, 30 + 25 = 55 這些饒具趣味的自然數式子，許多趣味數學書都有提及(如《數 學和數學家的故事》第三集 p.43，《趣味數學辭典》(上海辭書出版 社) p.8-10)。而像45、55 這種奇妙的自然數，筆者個人喜歡稱作 「破鏡重圓數」，然而多年來，人們對它的認識似乎就止於「二次 重圓」，但其實這種數學奇妙絕不止此，譬如： 452 = 2025, 20 + 25 = 45 453 = 91125 9 + 11 + 25 = 45 454 = 4100625 4 + 10 + 06 + 25 = 45 455 = 184528125 1 + 84 + 52 + 81 + 25 = 243 2 + 43 = 45 456 = 8303765625 83 + 03 + 76 + 56 + 25 = 243 2 + 43 = 45 457 = 373669453125 37 + 36 + 69 + 45 + 31 + 25 = 243 2 + 43 = 45 ... ... ... ... ... ... 以上還可以一直寫到無窮次方，「重圓」性質始終不變，而 55 這個數自然也具有這種「無窮次重圓」的性質。 上面這個多年不見有人發現的奇觀，或說明一點，我們都很易走 到真理面前而錯過了它。 要用數學方法說明這奇觀的必然性，涉及數論的同餘式理論，為 免太花篇幅，這裡只作簡單說明： 定理: 若自然數 P 是下述聯立同餘式的最小解： 其中 α 和 β 互素，αβ = 10n - 1，n≧1，則 P 可無窮次重 圓。 證明這個定理的關鍵是 1x≡1 (mod y) 對於任何正整數 x 和 y 都成立。 此外，若 P = 10n - 1，其中 n≧1，則 P 也是可以無窮次重圓的。 筆者也發現一種只在奇數次方時「重圓」的自然數，如： 442 = 1936 19 + 36 = 55 443 = 85184 8 + 51 + 84 = 143 1 + 43 = 44 444 = 3748096 3 + 74 + 80 ＋ 96 = 253 2 + 53 = 55 445 = 164916224 1 + 64 + 91 + 62 + 24 ＝ 242 2 + 42 = 44 ... ... ... ... ... ... ... ... 設這種只在奇數次方時「重圓」的自然數為 Q，則 Q 要麼是 10n - 2 (其中 n≧1)，要麼必是下列聯立同餘式的最小解： 其中 α 和 β 互素，αβ = 10n - 1，n≧1，有趣的是，若 P 是 無窮次重圓數，則 (P - 1) 總是只在奇數次方時重圓。 在池野信一、高木茂男、土橋創作、中村義作合著的《數理 Puzzles》中，曾把「二次重圓數」寫成如下的形式： 2045 = 20 + 452 3055 = 30 + 552 88297 = 88 + 2972 494703 = 494 + 7032 ... ... ... ... ... 這是對「重圓數」的「純度」要求提高了。因為像 455 = 184528125 1 + 84 + 52 + 81 + 25 = 243 2 + 43 = 45 這種例子，就明顯不能改寫成上述形式。於是新的問題又來了，有 多少三次或四次(五次或以上的又有沒有？)「重圓數」有「純 度」，能寫成上述形式？下面略舉一些筆者發現的實例： 518 = 5 + 1 + 83 26198297 = 26 + 198 + 2973 12519492322 = 125 + 1949 + 23223 20301732728 = 203 + 0173 + 27283 4100645 = 4 + 10 + 06 + 454 9150655 = 9 + 15 + 06 + 554 35152125433 = 35 + 152 + 125 + 4334 作為課外的學習材料，我相信這種「無窮次重圓數」可以又一次 讓學生認識到自然數的美妙及不可思議之處，並因而拓展了想像 力。事實上，在一般趣味數學書中，找「二次重圓數」往往是用代 數方法，可是再高次一些的「重圓數」，若沿用代數方法去尋找， 就會顯得很笨拙，這亦使學生認識到掌握不同的數學工具重要性。
回《數學教育》第 四期目錄