Fermat (分割)定理的又一簡捷証明

Fermat (分割)定理的又一簡捷証明

張贇 甘肅省金昌市一中 

	
	Fermat (分割)定理  矩形 ABCD 的邊 AD =  ，以 AB 為直
徑在矩形之外作半圓，在半圓上任取一點 P，連 PC、PD 交 AB 於 
E、F，則
AE2 + BF2 = AB2.

	R.A.Johnson 先生在文 [1]中已給出了其一個漂亮的証明。貴刊
在1996年第 3 期上刊登了袁金先生的"Fermat (分割)定理的代數法
証明" (稱此文為文[2])一文。茲介紹其解析法証明。

	証明	不妨取 AD = 1，則 AB =  。建立如圖示的直角坐標
系。易得 A ( ，0)、B ( ，0)、C ( ，1)、D 
( ,1)，且半圓的方程為
x2 + y2 =  

 
	設點 P 的坐標為 P (x0，y0)，則 CP 的斜率為 
 
DP 的斜率為  
故直線 CP 的方程為 
y - 1 =  
令 y = 0，得 E 的 x 坐標為  
同理可得 F 的 x 坐標為  
 AE2 + BF2 = ( - )2 + (  +  )2 
			= ( )2 + ( )2
			=  
∵ P (x0 , y0) 在半圓上
∴  
∴ AE2 + BF2 =  
				=  
				= 2
又 ∵ AB2 = ( )2 = 2
∴ AE2 + BF2 = AB2 


參考文獻

1.	R.A.Johnson (1995) 《近世幾何學》(第六版) (邱懷榮譯)。商務
印書館。
2.	袁金 (1996)。 Fermat (分割) 定理的代數法証明。《數學教
育 》，第3期，頁 59及61。


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編者按：若設 AD = 2 , AB = 2 。運算過程涉及的數字會更簡單。



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