Fermat (分割)定理  矩形ABCD的邊 AD= ﹐以AB為直徑在矩形之外作半圓﹐在半圓上任取一點P, 連PC、PD交AB於E、F﹐則
                        AE² + BF² = AB²

        筆者在貴刊1997年第四期上介紹了其一簡捷証明。本文再介紹有心圓錐曲線的Fermat (分割) 定理。

定理1 ﹙即Fermat分割定理﹚  矩形ABCD的邊 AD= ﹐以AB為直徑在矩形之外作半圓﹐在半圓上任取一點P﹐連PC、PD交AB於E、F﹐則
                        AE² + BF² = AB²

定理1的証明見文 [1]。

定理2  矩形ABCD的邊 AD=  ﹐以AB為長軸長﹐AD為短軸長﹐在矩形之外作半橢圓﹐在半橢圓上任取一點P﹐連PC、PD交AB於E、F﹐則
                        AE² + BF² <= AB²

証明  不妨取AD = 2﹐則AB = 。建立如圖示的直角坐標系﹐易得  A (- , 0), B (, 0), C (, 2), D (-, 2)。半橢圓的方程為

  + y² = 1      (其中 y <= 0)

設點P的坐標為P (x0, y0)﹐則
                K_CP = ,  K_DP = 

同定理1的証明﹐可得
                AE² + BF² = 
P (x₀, y₀) 在半橢圓   ( y <= 0) 上,
 
 x₀² = 2 - 2y₀² 
即  AE² + BF² = 
                       = 
令                S = , 則
                    Sy₀² + 4(8 - S)y₀ + 4(S - 8) = 0
 y₀ E R
  = 16(8 - S)² - 16S(S - 8) = -128S + 1204 >= 0
 S <= 8

即                AE² + BF² <= 8
又  AB² = (2)² = 8
                    AE² + BF² <= AB²

定理3  矩形ABCD的邊 ﹐以AB為實軸長﹐AD為虛軸長﹐在矩形之外作半雙曲線﹙暫稱雙曲線被實軸分成的每一部分叫做半雙曲線﹚﹐在半雙曲線上任取一點P﹐連PC、PD交AB於E、F﹐則    AE² + BF² >=  AB²

定理3的証明類同定理2的証明﹐詳細過程留給讀者完成。

參考文獻

[1] 張贇 (1997)。Fermat (分割)定理的又一簡捷証明。《數學教育》，第4期，頁94-95。
 

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