歐陽絳 山西大學自然辯證法研究室
在文明的結構中，存在著許多鏈條，數學－數學史－數學教育－
素質教育是其中一條。緊緊地把握此鏈條及鏈條上的諸關係，將大
有助於文明的發展。
數學有它自己的發展過程，有它的歷史。它是活生生的、有血有
肉的。無論是概念還是體系，無論是內容還是方法，都只有在與其
發展過程相聯繫時，才容易被理解。可以說，不懂得數學史，就不
能真心地理解數學。數學課本上的數學，經過多次加工，已經不是
原來的面貌；刀斧的痕跡，清晰可見。數學教師要把課本上的內容
放到歷史的背景上考察，才能求得自己的理解；然後，才有可能幫
助學生理解。
歷史上的東西都是曾經成為現實的東西。它成為現實，總有它成
為現實的理由；這理由就是邏輯。不懂得數學發展的邏輯，就沒法
把握今天的潮流和未來的趨勢。要知道：每一位談論潮流和趨勢的
人，都加上了他自己的主觀分析和主觀願望；唯獨歷史是公平的，
不偏不倚。
我們強調在教學中要注意啟發，其實，歷史就是最好的啟發式。
探索思想根源，認準歷史上的重大思想轉折，對於在此領域辛勤奔
波的人來說，是最大的啟發。H．伊夫斯（Howard Eves）在《數學
史上的里程碑》中，為我們做出了範例。著名數學家江澤涵先生說
得好：「在數學飛速發展的今天，不了解其歷史、其全局，只見樹
木，不見森林，對數學的學習和研究都不利。」在數學前沿工作的
研究人員，也常常忘記他自己正立足於數學發展的哪一點，更不用
說數學系的學生了。為了整個數學的發展，需要整理和研究數學史。
對於每一個數學研究工作者或者數學教育工作者，數學史都應該在
自己的心目中，列為必修課。
數學從它誕生那天起，就與思維結下了不解之緣。創造數學，構
造數學，學習數學，研究數學，都是思維的過程，而且是較為純淨
的思維過程。數學是鍛鍊思維的體操。這要從多方面理解，包括：
直觀、猜測、類比和演繹，還包括：從具體到抽象，從抽象到具體，
從特殊到一般，從一般到特殊，等等。
「歷史從哪裡開始，思維就應該從哪裡開始。」對於一般學科尚
且如此，對於與思維有不解之緣的數學尤應如此；也就是說，更應
該從探索思維的源頭入手。
隨著數學的發展，人們進一步思考一些問題：數學研究的對象究
竟是甚麼？數學怎樣成為可應用的？對「數學是研究模式的學問」
這句話該怎麼理解？等等。這些問題都是數學哲學的研究課題，只
有放到數學史的背景上考察，才容易理解。另一方面，數學史家在
研究數學史和寫作數學史之前，對上述問題總有一定的觀點、一定
的看法。因此，我們可以仿照科學哲學家們的說法，說：「沒有數
學史的數學哲學是拐子，沒有數學哲學的數學史是瞎子。」
教學法上有這樣一條原則，我們姑且稱之種系發生原則。它建基
於生物學家精闢論述的著名定律：「個體發育重演種系發生史」，
意思就是「個體複製群的發展」。即至少在粗略的外觀上，一個學
生要把一門學科學好，得順著該學科的歷史發展的順序學。作為一
個特殊例子，我們來看一下幾何學。最早的幾何學可稱為潛意識的
幾何學（subconscious geometry），它來源於人類認識物理形式和比
較形狀與大小的能力的簡單觀察。幾何學後來成為科學的，或經驗
幾何學；該學科的此階段發生於這樣的時候，即人類的智能從一組
具體的幾何關係中抽出把前者（指具體的幾何關係）作為特例包括
在內的一般的抽象關係（幾何的定律）的時候。後來，實際上在希
臘時期，幾何學才提高到高級階段；成為證明幾何學。按照這裡講
的教學法原則，主張：應先向年輕的孩子們顯示，如何通過簡單的
技術對自然作簡單的觀察；然後，教學生用圓規和直尺，用尺和延
長器，並且用剪刀和漿糊，導致一批重要的幾何定理；再遲些，幾
何學才能以其證明或演繹的形式被顯示，較早的歸納方法的優缺點
此時才能向學生指明。－－僅從這一點來說，數學教育工作者也應
該學習和研究數學史。
H．伊夫斯在探索種系發生原則的過程中，提出了數學之樹的概
念，並且對它作了生動而形象的描述：若干年前，把數學描繪成一
棵大櫟樹的樣子，這是眾所周知的事。在樹根上標著代數、平面幾
何、三角、解析幾何和無理數這樣的名稱。從這些根上長出該樹的
強大的樹幹，上面寫著微積分。然後，從樹幹的頂端發出許多枝，
並且再分為較小的枝。這些枝上寫著這樣的名稱：複變、實變、變
分法、概率等等，包括高等數學的所有各個「分支」。
數學之樹顯然是時間的函數。例如，上面描述的櫟樹肯定不能作
為亞歷山大時期的數學之樹。櫟樹很好地代表十八世紀和十九世紀
相當一部分數學的情況；但是，隨著二十世紀數學的大量增長，櫟
樹給出的數學的一般圖景不再保持了。
我們必須重繪數學之樹，如果它要代表今天的數學的話。幸而存
在作為這種新代表的一種理想的樹－－榕樹。榕樹是一種多幹樹，
而且不斷生長新幹。這樣，從榕樹的一枝上，一根像針一樣的生長
物向下伸展，直到它達到地。它在那裡生根，並且，在一些年後，
這針狀物長得越來越粗壯，及時地將自己長成有許多枝的幹，每一
枝又在地下投下它們的針狀生長物。伊恩．斯圖爾特（Ian Steward）
在他著的《自然之數》一書中，又描繪出了數學的前景。由櫟樹，
而榕樹，而自然之數，數學教育工作者都應該把它們置入視野，尤
其是：當我們考慮課程設置時。
文明是有結構的，這指的是：（1）文明由若干部分組成，有：
科學、藝術、宗教、倫理、政治、法律等等；（2）各部分在這個結
構中有一定的地位；（3）各部分之間依一定的關係而共存。
數學是文明的一個組成部分，而且是一個重要組成部分。有了文
明，就有了數學，數學史和文明史幾乎是同步前進的。數學不是在
真空中產生的，總是在一定的文明中出現的。因此，我們講文明史，
也該介紹其文明背景。另一方面，數學的發展對整個文明的發展起
的影響不容忽視。也就是說，我們不能把它僅僅當作一種技術或技
巧，要注意它的文明功能，即對文明發展的促進作用。
對學習和研究數學的人，對未來的數學教師和在職的數學教師，
講數學史，要講甚麼樣的數學史，要怎樣講數學史。這是個值得探
索的問題。
首先，要把它當作一門數學課來講，要強調它是「數學」史，而
不是數學「史」。正如H．伊夫斯在《數學史概說》中指出的，和實
際做到的。第二，要注意數學思想的演變，尤其是數學思想的重大
轉折。正如H．伊夫斯在《數學史上的里程碑》中指出的，和實際做
到的。第三，要把數學的發展與它所處的文明背景的關係講清楚。
這既能說明它是在甚麼樣的文化氛圍中產生的，又能說明它對處於
其中的文明產生的影響，即其文明功能。作為數學教師，對上述這
些有了個清晰的認識，大有助於提高自己的素質。
在這裡，應該探討的問題有：數學的教育功能？不同民族、不同
時代對數學的教育功能的種種看法？這可以從畢氏學派的「數學能
淨化人的思維」說起。
數學教育對整個文明發展的作用？數學教育在不同國家、不同時
代的地位？這可以從柏拉圖學派的「不懂幾何者，不得入內」說起。
當今世界，數學教育是否受到足夠的重視？對於數學教育史，已
經做過些甚麼工作？有哪些工作，亟待進行？在數學教育史中，最
關鍵的是數學教育思想史。
目前，人們都在談論素質教育，眾說紛紜。我不準備在這裡談這
些說法，我只提出一點：應該把「素質教育」作為一個開放的概念，
不要急於下結論。正因為如此，我願大膽地提出自己的看法。我認
為：素質教育的「素質」，應該包括以下內容：（1）身體素質，（2）
心理素質，（3）思維素質，（4）道德素質，（5）科學文化素質。
作為教育工作者的我們，應該弄明白各素質間的關係，尤其是：身
體素質和心理素質對成功的影響。著名數學家、著名數學教育家G．
波利亞（George P鏊ya）（1887-1985），能取得那麼大的成就，是
與他的身體素質高分不開的。
畢達哥拉斯說過：「數學能淨化人的思維」；不少教育學家強調：
數學能鍛鍊人的思維。數學在提過思維素質方面的作用不容忽視。
數學教育在提高科學文化素質上的作用，也是突出的。這不僅由於
數學的內，還由於通過數學學習養成的思維習慣和思維方法。在某
種意義上，數學是開啟科學文化宮殿大門的鑰匙。作為數學教育工
作者，明確地意識到這一點，大有助於提高自己的工作水平。
我們必須懂得整個素質教育的內涵，懂得數學教育在整個素質教
育中的地位；並且，知道自己（面對這麼高的要求）欠缺甚麼，努
力擴展自己的能力，當仁不讓地勇敢地承擔起自己應付的責任。
每一位數學教師，都應該捫心自問：對數學是否熱愛？自己做數
學時，是否常有激情湧現？然後，再考慮：如何通過自己的教學激
發學生學習數學的激情？每一位數學教師，應該弄懂數學與思維的
關係，知道：如何通過教學啟發學生的思維。更要緊的是：讓學生
通過數學活動，培養起良好的思維習慣。每一位數學教師，都應該
認真地學習數學史，用數學史啟發自己的頭腦，然後，用自己的已
經馳騁起來的思維去啟發學生。
作為數學教師，怎樣提高自己的素質呢？一曰實踐。教學實踐，
是提高自己素質的起點，要緊緊把握每一個機會。二曰讀書。要選
擇一兩本書，認真地讀，把上面的題，全把做一遍，並進行反思；
一定要讀透。三曰思考。在實踐過程中，要思考；要知道；單純的
經歷，不等於經驗；經歷加思考，方能形成經驗。在讀書過程中，
要思考，要知道：只有和作者進行思想交流，作者的思想種子才能
在自己的心田中生根發芽。四曰寫作。寫作也是主動地思考、主動
地表述。大膽地寫出自己的見解，方能讓自己在思維領域闊步前進。
畫地為牢，作繭自縛，抱殘守缺，是沒有出路的。
實踐、讀書、思考、寫作，實踐、讀書、思考、寫作，如此循環
往復；你將必然地進入成功者的行列。
以上十一條，是我們數學教育工作者於工作、談問題的立足點。
千萬不要把這些看似遠離教學的東西，當作「陽春白雪」，屏之於
九霄雲外；這是打好基礎、站穩腳跟的大事；站穩了腳跟，才能向
前進。對於上述問題學習與研究、分析與討論，是考慮數學教育改
革問題之前，必須做的準備工作。一句話，是數學教育改革的立足
點。
（一）G．波利亞的著作：
《怎樣解題》，閻首蘇譯，科學出版社，1982年。
《數學的發現（第一卷）》，歐陽絳譯，科學出版社，1982年。
《數學的發現（第二卷）》，劉遠圖等譯，科學出版社，1987
年。
《數學與猜想（第一卷）》，李心燦等譯，科學出版社，1984
年。
《數學與猜想（第二卷）》，李心燦等譯，科學出版社，1984
年。
Mathematical Methods in Science, The Mathematical Association
of America, 1977. （尚無中譯本）
（二）H．伊夫斯的著作：
《數學史概論（修訂本）》，歐陽絳譯，山西經濟出版社，1993
年。
《數學史上的里程碑》，歐陽絳等譯，北京科學技術出版社，
1990年。
（三）其他：
《數學的藝術》，歐陽絳著，農村讀物出版社，1997年。
《思維效率》，歐陽絳著，福建教育出版社，1996年再版。
《自然之數》，伊恩．斯圖爾特著，上海科學技術出版社。
H. Scott Fogler, Strategies for Creative Problem Solving,
Prentice Hall Inc., 1995.
