單位分數的奧秘

馮振業		香港教育學院

筆者在上期〈來自古埃及的教學靈感〉一文中，提及單位分數，即分子為1，分母為正整數的分數。在古埃及人的數學裏，基本上只談單位分數的和，因他們能成功地把常用的分數都化成相異單位分數的和。用現代的觀點看，以下命題是正碓的：

命題一
任何0與1 之間的有理分數皆可表成相異單位分數之和。

英國數學家西爾維斯特（J.J. Sylvester, 1814 - 1897）提供了以下的系統構作法：

求不大於給定分數的最大的單位分數
從給定分數中減去此單分位分數
求不大於所得差的最大單位分數
繼續減，並且繼續此程序

這個方法實在十分自然，說穿了，就是在

1
2

1
3

1
4

1
5

1
6

1
7

...

1
n

...

中，逐步拿最大的剩下來的單位分數去併和，直至與給定分數相等，不是很直接自然嗎？或許小學生也能想出呢？
例如：

	6 7	-	1 2	=	5 14	(因	1 2	是最大的不超過	6 7	的單位分數)
	5 14	-	1 3	=	1 42	(因	1 3	是最大的不超過	5 14	的單位分數)
因此，	6 7	=	1 2	+	1 3	+	1 42

然而，難點卻在於解釋為甚麼這個程序必在有限步內停止。（否則便變成停不了的程序！）

假設在某步之中我們把剩下來的差		減去最大不超過		的單位分數	，
這裡a, b, a皆為正整數。

由		(a必大於1)
知	a > aa - b > 0。
因此，		中的分子 aa - b 在未約簡時已較原分子 a 小。換言之，
每減一次，剩下的分數於約至最簡時的分子皆較原先的小，有限步內，必至分子為1，即所得差為單位分數，也就是停下來的一刻！

命題二
任何單位分數皆可表成兩相異單位分數之和。

當學生注意到

即任何兩相鄰單位分數相減必為單位分數後，一般的證明便呼之欲出。且看

，故對任何正整數n，便為所求。

有了命題二，即知表成單位分數和的式子不只是不唯一，更是無窮地多！只要在任何一條這樣的式子中，把分母最大的一項按上述的方法換成兩項分母更大的單位分數的和，便可得出一個不同的表示法。不斷重複，就生出一個又一個的新式子，那會有窮盡。由此得。

命題三
對任何0 與 1 之間的有理分數，皆有無窮多的相異單位分數和的表示式。

這裡無窮多的表示式源於不斷增加項數，如果我們把項數限於二之內，事情會否同樣易辦？答案是否定的，且看。由於對任何正整數 m>2、n>3，，故是不可能被表成不超過兩相異單位分數的和的。

那麼，在甚麼情況下可以表成不超過兩相異單位分數之和呢？直接驗算可得

命題四
設 z, p, q 為正整數，如果是整數，則。
只要在命題四取 z=2, p=n, q=1 即得

推論五
如 n > 3 為奇數，則必可表成兩相異單位分數之和。

由命題四也可看出，表成兩相異單位分數之和的式子也不一定唯一。例如有沒有唯一的時候呢？有。考慮
設。若則 a > 2，即有。由 (*) 的左右相等迫使，但這是不可能的，因和之間不存在任何單位分數。故 + 的表示式是唯一的。
命題四雖給出表成兩相異單位分數之和的充分條件，但卻非必要。例如皆不能由命題四直接推出。不過，我們卻有以下較弱的充要條件。

命題六
設z, n 為互質正整數。

存在互質正整數 a, b 使的充要條件為存在正整數 p, q 使 n = pq 及為正整數。

命題四已保證了命題六的一半。現設存在互質正整數 a, b 使，即由 a, b 互質可知 ab, a + b 互質，加上 z, n 互質便知 z=a+b, n=ab。取 p = a, q = b 則 n = pq 及為正整數，故命題成立。

看了以上的分析，大家或許已體會到單位分數耐人尋味之處。有空的話不妨親自動手，或許可找到更多有趣的結果。從教學的角度看，古埃及人的單位分數堪稱「老幼咸宜」。如欲發掘更多教學靈感，可參考Hurd (1991)及 O'Reilly (1992a, b)。

參考資料
Eves, H. (1990). An introduction to the history of mathematics, 6th ed. Philadelphia: Saunders. （中譯本《數學史概論》由歐陽絳譯，台北曉園出版，1993。）
Hurd, S. P. (1991). Egyptian fractions: Ahmes to Fibonacci to today. Mathematics Teacher, 84(7), 561-568.
O'Reilly, D. (1992a). Creating Egyptian fractions: A discussion of some methods. Australian Mathematics Teacher, 51(1), 10-13.
O'Reilly, D. (1992b). The Isis problem and Egyptian fractions. Australian Mathematics Teacher, 51(2), 27-29.

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