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¡@¡@Ten animals I slam in a net
¡@¡@Was it a can on a cat I saw
¡@¡@Now no swims on Mon

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¡@¡@Must sell at tallest sum
¡@¡@Able was I ere I saw Elba
¡@¡@Bob, "Did Anna peep? "Anna, "Did Bob?"

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63504¡×441¡Ñ144¡×252¡Ñ252. The smallest number, not a multiple of 10, to equal the product of a 
number and its reversal in two ways. Another example, with a palindrome, and therefore a square, 
is: 7683984¡×27722¡×1584¡Ñ4851. If, however, the palindrome 252 is considered a defect, then a 
larger non-palindromic example is: 144648¡×861¡Ñ168¡×492¡Ñ294.

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	¢Ü¡×A1¡Ñm(A1)¡×A2¡Ñm(A2)¡×¡K¡K¡×An¡Ñm(An)

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2943¡A«h m(Ai)¡×3492¡A¦Ó¢ö¡Ù3¡C

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	A1¡Ñm(A1)¡×A2¡Ñm(A2)¡K¡K¡K					(1)

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	A1¡Ñm(A1)¡×A2¡Ñm(A2)¡×¡K¡K¡×An¡Ñm(An)¡K	(2)

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¡@¡@¢Þ¡×u¡Ñv¡A¢ß¡×m(u)¡Ñv¡A
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¡@¡@¢õ(¢Þ)¡×m(u)¡Ñm(v)¡A¢õ(¢ß)¡×u¡Ñm(v)¡A
¨Ã¥B¢Þ¡Ñm(¢Þ)¡×u¡Ñv¡Ñm(u)¡Ñm(v)
 ¡@¡@¡@¡@¡@¡@¡×m(u)¡Ñv¡Ñu¡Ñm(v)
 ¡@¡@¡@¡@¡@¡@¡×¢ß¡Ñm(¢ß)¡K¡K¡K			(3)
³o´Nµ¹¥X(1)¦¡¤F¡I¦Ó¢ý¡B¢þ´N¬O¯àµ¹¥X(1)¦¡ªº¥Í¦¨¼Æ¡C

	³o­Ó¤èªk¬O¦p¦ó·Q¥X¨Óªº©O¡H¦^¾Ð°_¨Ó¡Aªì®É¦Û¤v¬O¥Î¥N¼Æ©M¦P¾l¦¡¤èªk¨Ó¨D¸Ñªº¡A
¦ý§ä°_¨Ó¥u·P¤èªk«Ü²Â©å¡A«á¨Ó±q¬ã¨s¥­¤èÃè¤Ï¼Æªº³W«ß¤¤±o¨ì±Òµo¡G¦ó¤£¥H¯à¦^¤åªº
§÷®Æ¨Ó¬¶»s¦^¤å¿nµ¥¦¡¡H¥Ñ¦¹¤]¥i»¡©ú¡A¿ù¥Î¤u¨ã±`·|¾É¦Ü¨Æ­¿¥\¥b¡C

	(2)¦¡¬O(1)¦¡ªº±À¼s¡A¥Í¦¨¼Æ¤èªk¤´ÂÂ¥i¥Î¡A¨Ò¦p·í¢ö¡×¢³¡A¥u­n§ä¥X¾A·íªº¥Í¦¨¼Æ 
U1¡AU2¡AU3¡A¨Ï
	A1¡×U1¡EU2¡EU3¡A
	A2¡×U1¡EU2¡Em(U3)¡A
	A3¡×U1¡Em(U2)¡EU3¡A
	A4¡×U1¡Em(U2)¡Em(U3)¡K¡K¡K		(4)
	¤@¯ë¦a¡A·ín = 2 k¡A§Ú­Ì»Ý­n (k + 1) ­Ó¥Í¦¨¼Æ¡C¤£¹L¡A·í³o¨Ç¥Í¦¨¼Æ¤¤¦³¨Ç¬O¤¬¬°
Ãè¹³Ãö«Y®É¡A§Y¦³m(Ui)¡×Uj¡A«h¥H (k + 1) ­Ó¥Í¦¨¼Æºc§@(2)¦¡¡A¥u¯à¦³ n < 2 k¡C¨Ò¦p¦b(4)
¦¡¤¤¡A­Y¦³m(U2)¡×U3¡A«hA1¡×A4¡A¦¹®É n ¥u¯à¬O3¡C
	¥H¤U¬O´X­Ó¹ê»Úªº¨Ò¤l¡G
	¥Ò¡@¥Ñ¥Í¦¨¼Æ12¡A21¡A1011¡Aºc§@±o
	            145584¡Ñ485541
	        ¡×158544¡Ñ445851
	        ¡×254772¡Ñ277452
	¤A¡@¥Ñ¥Í¦¨¼Æ12¡A102¡A1002¡Aºc§@±o
	            1226448¡Ñ8446221
	        ¡×2146284¡Ñ4826412
	        ¡×2416824¡Ñ4286142
	        ¡×2449224¡Ñ4229442
	¤þ¡@¥Ñ¥Í¦¨¼Æ12¡A21¡A1011¡A1000010001¡A­¼±o
		A1¡×12¡Ñ12¡Ñ1011¡Ñ1000010001
		    ¡×145585455985584
		A2¡×21¡Ñ12¡Ñ1011¡Ñ1000010001
		    ¡×254774547974772
		A3¡×21¡Ñ21¡Ñ1011¡Ñ1000010001
		    ¡×445855458955851
		A4¡×21¡Ñ21¡Ñ1101¡Ñ1000010001
		    ¡×485545855895541
		A5¡×12¡Ñ12¡Ñ1101¡Ñ1000010001
		    ¡×158545585598544
		A6¡×21¡Ñ12¡Ñ1101¡Ñ1000010001
		    ¡×277454774797452
¨ä¤¤A1¡Ñm(A1)¡×A2¡Ñm(A2)¡×¡K¡K¡×A6¡Ñm(A6)

	ŪªÌ¥u­n¬ã¨s¤@¤U¥Ò©M¤þªº±¡§Î¡A«Kª¾¹D¦s¦b¥ô·N¤jªº K¡A¨Ï n (> 2 k - 1 ) ­Ó¤¬¤£¬Û
µ¥ªº¡A¤]¤¬«DÃè¹³Ãö«Yªº¦ÛµM¼Æº¡¨¬(2)¦¡¡C

	­È±o¤@´£ªº¬O¡A¤åÄm[1]´¿«ü¥X¡A¤Þ¶iµL½a¶i¨î¼Æªº­¼ªkªº·§©À«á¡A¥é·Óºc§@(1)¦¡
ªº¥Í¦¨¼Æªk¡AÁÙ¯àºc§@¥X¤G¦¸©M¤T¦¸ªºµ¥¾­©M¼Æ²Õ¨Ó¡C¨Ì¦¹Ãþ±À¡A¨Ï¥ÎµL½a¶i¨î¼Æªº
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­ÓÃþ±À¬O¥¿½Tªº¡A¬°¬Ù½g´T¡A³oùØ¥u¦CÁ|¤@¤G¹ê¨Ò¡G


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	        ¡e2¡A29¡A139¡A168¡A262¡f2
	     ¡×¡e3¡A41¡A112¡A176¡A268¡f2
	     ¡×¡e4¡A52¡A84¡A203¡A257¡f2
	     ¡×¡e6¡A56¡A73¡A218¡A247¡f2
	     ¡×¡e8¡A42¡A86¡A223¡A241¡f2
	     ¡×¡e12¡A28¡A119¡A172¡A269¡f2
	     ¡×¡e14¡A24¡A107¡A202¡A253¡f2
	     ¡×¡e16¡A21¡A143¡A148¡A272¡f2
	³o¤K­Ó¤G¦¸³sÀôµ¥¾­©M¼Æ²Õªº¥Í¦¨¼Æ¬O¡]1¡A2¡^¡A¡]2¡A3¡^¡A¡]1¡A4¡^¡A
¡]1¡A7¡^¡C

	¨Ò¤G
		¡e2¡A27¡A120¡A136¡A314¡A330¡A423¡A448¡f3
	     ¡×¡e3¡A38¡A80¡A174¡A276¡A370¡A412¡A447¡f3
	     ¡×¡e4¡A48¡A60¡A203¡A247¡A390¡A402¡A446¡f3
	     ¡×¡e6¡A40¡A67¡A198¡A252¡A383¡A410¡A444¡f3
	     ¡×¡e8¡A30¡A78¡A191¡A259¡A372¡A420¡A442¡f3
	     ¡×¡e10¡A24¡A87¡A178¡A272¡A363¡A426¡A440¡f3
	     ¡×¡e12¡A20¡A107¡A144¡A306¡A343¡A430¡A438¡f3
	     ¡×¡e15¡A16¡A118¡A132¡A318¡A332¡A434¡A435¡f3
	³o¤K­Ó¤T¦¸³sÀôµ¥¾­©M¼Æ²Õªº¥Í¦¨¼Æ¬O¡]1¡A2¡^¡A¡]2¡A3¡^¡A¡]1¡A4¡^¡A
¡]1¡A1¡A1¡A1¡^¡A¡]1¡A5¡^¡C

	«ö²z¡A¥|¦¸¤Î¥H¤Wªº³sÀôµ¥¾­©M¼Æ²Õ¤]À³¸Ó¬O¦s¦bªº¡AµM¦Ó¾Úµ§ªÌ±À´ú¡A­nºc§@³o
¼Ë°ª¦¸¼Æªº³sÀô¼Æ²Õ¡A¥»¤å¤¶²Ðªº¥Í¦¨¼Æªk¬OµL¯à¬°¤Oªº¡C

	«á°O¡GµL½×¬O¦^¤å¿nµ¥¦¡ÁÙ¬O¦^¤å¿n³sÀôµ¥¦¡¡A¥E¬Ý¤§¡A­nºc³y¥X¨Ó¦ü¥G¬O«ÜÁ}¥¨
ªº¨Æ±¡¡A¬Æ¦Ü·P¨ìµL±q¤J¤â¡CµM¦Ó¤@¥¹¨Ï¥Î¥Í¦¨¼Æªk¡A¥ß¨èÅܦ¨®e©ö«D±`¡C¦^¤å¿nµ¥¦¡
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¦^¤å¿nµ¥¦¡¥~¡A´_¥i¥Í²£µ¥¾­©M¼Æ²Õ¡A³o¼Ëªº°Æ²£«~¤]¯u¥i·R¡C
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°Ñ¦Ò¤åÄm

¡e1¡f§õ¾Ç¼Æ¡A¡m¼Æ¾Ç©M¼Æ¾Ç®aªº¬G¨Æ¡n²Ä¤C¶°¡A¼s¨¤Ãè¥Xª©ªÀ¡A1997¦~ª©¡G89-107
¡e2¡f°¨¤B¡E¥[¼w¯Ç¡A¡m°Ú«¢¡IÆF¾÷¤@°Ê¡n¡A¥Õ­^±mµ¥Ä¶¡A¤W®ü¬ì¾Ç§Þ³N¤åÄm¥Xª©ªÀ¡A
¡@¡@  1981¦~ª©¡G231-236
¡e3¡fDavid Wells(1997).Curious and Interesting Numbers, revised edition, England: Penguin Books 
	  LTD.

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