不合邏輯的數學

馮振業


	筆者曾面對這麼一道題：

	「如果 I - AB 是可逆矩陣，證明 I - BA 也是可逆矩陣。」

	當時在場的有幾位數學「發燒友」，大家各自唸唸有詞，耽天望地，指手劃腳。
數分鐘後，其中一人突然發難，寫下：

	「如果 I - AB 的逆矩陣是 M，則 I - BA 是可逆矩陣，而且它的逆矩陣是 I + BMA。」

	經過少許直接驗算，眾人皆讚嘆這個巧妙的發現。在一輪歡呼聲過後，大家不期然
相互對望，流露出一臉茫然。接著一齊高聲發問：「這個 I + BMA 是怎樣找出來的？」

	這位令人仰慕的解難專家這樣回答：
「先以「冪級數」方法展開 (I - AB)^-1 和 (I - BA)^-1，得
			(I - AB)^-1 = I + AB + (AB)² + ... = M，
 			(I - BA)^-1 = I + BA + (BA)² + ... = N。
要證 I - BA 可逆，只要能把 N 表成 A、B、I 和 M 的組合，就可以用直接驗算解決問題。
但這明顯不過，因
BMA = BA + (BA)² + (BA)³ + ... ，所以 N = I + BMA。」

	這個例子給我們上了重要的一課：數學不單是邏輯推理，還包括「不太有邏輯」
的推理。在上例中，在不能講收斂及乘法不可換的環境下，以級數展開已是十分「不合
邏輯」。其後還拿這串東西運算拼砌，造個 N 來，真是可惡得緊。然而，這一連串「不
合邏輯」的思想過程，卻給我們找到關鍵算式，能不叫人驚嘆？

	很多人或許以為這只是一個沒有一般性的解題巧合，但是筆者在另外一個場合再把
這道題交給一位物理學家，這回他雖不能在數分鐘內解答，但最終仍告訴了我同樣的思
考過程。也就是說，解題策略在眾多「巧合」之中仍有其跨人物的共通點。

	在現代數學解難的文獻裏，我們把這種思巧方法叫做「探索法」（heuristics）。它
是指多面的對問題的攻擊手法，不一定源於嚴謹的邏輯，甚至可能跟數學以外的東西扯
上關係。(例如亞基米德就在《方法談》（Method） 中揭露他的有關球體體積公式的發
現是和天秤扯上關係。)

要瞭解多一點，可參看下列文獻：

Pólya, G. (1945).  How to solve it.  Princeton, New Jersey: Princeton University Press.
Pólya, G. (1954).  Mathematics and plausible reasoning, 2 volumes. 
	Princeton, New Jersey: Princeton University Press.
Pólya, G. (1954).  Mathematical discovery (combined edition).  New York: Wiley.
Schoenfeld, A. H. (1985).  Mathematical problem solving.  San Diego, California: Academic Press.

上面三本波利亞（Pólya）的巨著已有中譯本如下：

波利亞﹝1993﹞。《怎樣解題》﹝閻育蘇譯﹞。台北：九章。
波利亞﹝1992﹞。《數學與猜想》﹝李心煽、王日爽、李志堯譯﹞。台北：九章。
波利亞﹝1989﹞。《數學發現》﹝九章出版社編輯部譯﹞。台北：九章。

回《數學教育》第七期目錄

數學教育第七期 EduMath 7 (12/98)